Representación Gráfica de Números Irracionales

Pensamiento Numérico

Estandar: Utilizo los números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos

Procesos:

Establecer representaciones geométrica y simbóloca de los números irracionales
Argumentar la veracidad sobre afirmaciones relacionadas con los númeos reales

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En la unidad anterior estudiamos la representación geometrica y simbólica de los números decimales exactos, periódico puros y periódicos mixtos. Ahora nos preguntamos ¿existen números decimales infinitos que no tengan la misma características de los números decimales representados antes?

Analiza, por ejemplo, los siguientes números decimales:


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Un número irracional tiene infinitas cifras no periódicas, como es el caso en los dos ejemplos dados.

Como podrá ver éstos números no son racionales, no existe la forma de escribirmos como una fracción a/b con a y b enteros y b distinto de cero. De manera que existe la necesidad de ampliar los números Reales al conjunto de los números IRRACIONALES.


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Alguno números irracionales muy usados en la matemática: external image Tirra3.png

Historia de los números Irracionales

"Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!"

"Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es "pi" (π = 3,141592...). La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está intimamente ligada al número pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número. Pero el verdadero padre de pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo. Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de pi aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados.Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica". http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_irracionales:_Definici%C3%B3n

Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e. http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_irracionales:_Definici%C3%B3n


Video Historia del número Pi ( http://maralboran.org/web_ma/videos/historiaspi/historiasdepi.htm )


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NUMEROS IRRACIONALES

Representación geométrica de los numeros irracionales, vamos a reprentar las raices cuadradas de: 2, 3, 5, 7, 10, 11,..., esdecir, las riaces de números que no son cuadrados prefectos. Para esto dibujamos un cuadrado de lado 1 y trazamos la diagonal de dicho cuadro cuyo valor corresponde a la raíz cuadrada de 2.
Con un compas con centro en el origen A de la recta numérica y con una abertura igual a la diagonal del cuadrado ACBF, trazamos un arco BE que corte a la recta numérica. Dicho punto donde el arco corta a la recta numerica representa la raís cuadrada de 2. Igual proceso efectuamos con las diagonales del os respectivos rectángulos: AERF, AJKF, AMNF,...
Los antiguos Griegos encontraron que la diagonal de un cuadrado rectángulo no se puede expresar como la razón de dos números enteros.
Las diagonales de los rectángulos se calcula aplicando el Teorema de Pitágoras.

====Teorema de Pitágoras====
Suma de los cuadrados de los lados (llamado catetos) de un rectángulo es igual al cuadrado de la diagonal (llamada hipotenusa)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN UN NÚMERO IRRACIONAL

Observa la representación gráfica de un número irracional

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Josalbeto, Creación realizada con GeoGebra




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